Question

【題目】已知f(x)＝|2x＋4|＋|x－3|.

(1)解關(guān)于x的不等式f(x)<8；

(2)對(duì)于正實(shí)數(shù)a，b，函數(shù)g(x)＝f(x)－3a－4b只有一個(gè)零點(diǎn)，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）(－3，1)；（2）.

【解析】

（1）將函數(shù)解析式化成分段函數(shù)，用分類討論的方法解不等式.

（2）作出函數(shù)的大致圖象，的零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)與的交點(diǎn)，由圖可知，然后利用基本不等式求的最小值.

解：（1）由題意可得,

故當(dāng)時(shí)，不等式可化為，解得，故此時(shí)不等式的解集為；

當(dāng)時(shí)，不等式可化為，解得，故此時(shí)不等式的解集為；

當(dāng)時(shí)，不等式可化為，解得，此時(shí)不等式無解,

綜上，不等式的解集為.

(2)作出函數(shù)的大致圖象及直線，如圖.

由圖可知，當(dāng)只有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，，

即，

故

,

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．

的最小值為.