Question

（Ⅰ）①證明兩角和的余弦公式C_α+β：cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ；
②由C_α+β推導兩角和的正弦公式S_α+β：sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．
（Ⅱ）已知cosα=-

4

5

，α∈(π，

3

2

π)，tanβ=-

1

3

，β∈(

π

2

，π)，cos(α+β)，求cos（α+β）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）①建立單位圓，在單位圓中作出角，找出相應的單位圓上的點的坐標，由兩點間距離公式建立方程化簡整理既得；②由誘導公式cos[

π

2

-（α+β）]=sin（α+β）變形整理可得．
（Ⅱ）S=

1

2

，

AB

•

AC

=3，求出角A的正弦，再由cosB=

3

5

，用cosC=-cos（A+B）求解即可．

解答：解：（Ⅰ）①如圖，在直角坐標系xOy內做單位圓O，
并作出角α、β與-β，使角α的始邊為Ox，
交⊙O于點P₁，終邊交⊙O于P₂；角β的始邊為OP₂，
終邊交⊙O于P₃；角-β的始邊為OP₁，終邊交⊙O于P₄．
則P₁（1，0），P₂（cosα，sinα）
P₃（cos（α+β），sin（α+β）），
P₄（cos（-β），sin（-β））
由P₁P₃=P₂P₄及兩點間的距離公式，得
[cos（α+β）-1]²+sin²（α+β）=[cos（-β）-cosα]²+[sin（-β）-sinα]²
展開并整理得：2-2cos（α+β）=2-2（cosαcosβ-sinαsinβ）
∴cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ；（4分）
②由①易得cos（

π

2

-α）=sinα，sin（

π

2

-α）=cosα
sin（α+β）=cos[

π

2

-（α+β）]=cos[（

π

2

-α）+（-β）]
=cos（

π

2

-α）cos（-β）-sin（

π

2

-α）sin（-β）
=sinαcosβ+cosαsinβ；（6分）
（Ⅱ）∵α∈（π，

3π

2

），cosα=-

4

5

∴sinα=-

3

5

∵β∈（

π

2

，π），tanβ=-

1

3

∴cosβ=-

3 10

10

，sinβ=

10

10

cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ
=（-

4

5

）×（-

3 10

10

）-（-

3

5

）×

10

10

=

3 10

10

．

點評：本小題主要考查兩角和的正、余弦公式、誘導公式、同角三角函數間的關系等基礎知識及運算能力．