Question

【題目】已知函數．

（1）若，求函數的最大值；

（2）令，討論函數的單調區間；

（3）若，正實數滿足，證明.

Answer 1

【答案】（1）f（x）的最大值為f（1）=0．（2）見解析（3）見解析

【解析】

試題（Ⅰ）代入求出值，利用導數求出函數的極值，進而判斷最值；（Ⅱ）求出，求出導函數，分別對參數分類討論，確定導函數的正負，得出函數的單調性；（Ⅲ）整理方程，觀察題的特點，變形得，故只需求解右式的范圍即可，利用構造函數，求導的方法求出右式的最小值.

試題解析：（Ⅰ）因為，所以a=-2，此時f（x）=lnx-x2+x，

f'（x）=-2x+1，

由f'（x）=0，得x=1，

∴f（x）在（0，1）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減，

故當x=1時函數有極大值，也是最大值，所以f（x）的最大值為f（1）=0．

（Ⅱ）g（x）=f（x）-ax2-ax+1，

∴g（x）=lnx-ax2-ax+x+1 ，

當a=0時，g'（x）＞0，g（x）單調遞增；

當a＞0時，x∈（0，）時，g'（x）＞0，g（x）單調遞增；x∈（，+∞）時，g'（x）＜0，g（x）單調遞減；

當a＜0時，g'（x）＞0，g（x）單調遞增；

（Ⅲ）當a=2時，f（x）=lnx+x2+x，x＞0，．

由f（x1）+f（x2）+x1x2=0，即

lnx1+x12+x1+lnx2+x22+x2+x2x1=0．

從而（x1+x2）2+（x1+x2）=x1x2-ln（x1x2），．

令t=x2x1，則由φ（t）=t-lnt得，φ'（t）=．

可知，φ（t）在區間（0，1）上單調遞減，在區間（1，+∞）上單調遞增．所以φ（t）≥1，

所以（x1+x2）2+（x1+x2）≥1，正實數x1，x2，

∴．