Question

已知函數，過點P(1，0)作曲線y=f（x）的兩條切線PM，PN，切點分別為M，N，
（1）當t=2時，求函數f(x)的單調遞增區間；
（2）設|MN|=g（t），試求函數g（t）的表達式；
（3）在（2）的條件下，若對任意的正整數n，在區間[2，n+]內，總存在m+1個數a₁，a₂，....，a_m，
a_m+1，使得不等式g（a₁）+g（a₂）+...+g（a_m）<g（a_m+1）成立，求m的最大值

Answer 1

解：（10當t=2時，f（x）=x+，，
解得x>或x<-，則函數f（x）有單調增區間為
（2）設M、N兩點的橫坐標分別為，x_2
∵，切線PM的方程為：，
又∵切線PM過點P（1，0），∴有，
即，（1）
同理，由切線PN也過點（1，0），得 （2）
由（1）、（2），可得x₁，x₂是方程的兩根，
∴
，

把（*）式代入，得，
 因此，函數g（t）的表達式為
（3）易知g（t）在區間上為增函數，
∴，
則，
∵對一切正整數n成立，
∴不等式對一切的正整數n成立
，
即對一切的正整數n成立，
∵
∴，
由于m為正整數，∴，
又當m=6時，存在，對所有的n滿足條件。
因此，m的最大值為6。