Question

（2012•孝感模擬）某公司生產一種產品，每年需投入固定成本0.5萬元，此外每生產1百件這樣的產品，還需增加投入0.25萬元，經市場調查知這種產品年需求量為5百件，產品銷售數量為t（百件）時，銷售所得的收入為(5t-

1

2

t2)萬元．
（1）該公司這種產品的年生產量為x百件，生產并銷售這種產品所得到的利潤關于當年產量x的函數為f（x），求f（x）．
（2）當該公司的年產量為多少件時，當年所獲得的利潤最大．

Answer 1

分析：（1）分類討論：①當0≤x≤5時，②當x＞5時，分別寫出函數f（x）的表達式，最后利用分段函數的形式寫出所求函數解析式即可；
（2）分別求出當0≤x≤5時，及當x＞5時，f（x）的最大值，最后綜上所述，當x為多少時，f（x）有最大值，即當年產量為多少件時，公司可獲得最大年利潤．

解答：解（I）當0＜x≤5時，f（x）=5x-

1

2

x2-（0.25x+0.5）=-

1

2

x2+

19x

4

-

1

2

（2分）
當x＞5時，f(x)=25-

1

2

×52-（0.25x+0.5）=12-

x

4

（4分）
∴f(x)=

- 1 2 x2+ 19 4 x- 1 2 ，0＜x≤5  12- x 4 ，x＞5

（6分）
（2）0≤x≤5時，f（x）=-

1

2

（x-

19

4

）²+

345

32

，
∴在x=

19

4

時，f（x）有最大值

345

32

萬元，（10分）
當x＞5時，f（x）=12-

1

4

x＜12-

1

4

×5＜

345

32

（12分）
綜上所述，當x=4.75時，f（x）有最大值，即當年產量為475件時，公司可獲得最大年利潤（13分）

點評：本題考查了分段函數，以及函數與方程的思想，屬于基礎題．函數模型為分段函數，求分段函數的最值，應先求出函數在各部分的最值，然后取各部分的最值的最大值為整個函數的最大值，取各部分的最小者為整個函數的最小值．