Question

【題目】若函數在處有極值，且，則稱為函數的“F點”.

（1）設函數（）.

①當時，求函數的極值；

②若函數存在“F點”，求k的值；

（2）已知函數（a，b，，）存在兩個不相等的“F點”，，且，求a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）①極小值為1，無極大值.②實數k的值為1.（2）

【解析】

（1）①將代入可得，求導討論函數單調性，即得極值；②設是函數的一個“F點”（），即是的零點，那么由導數可知，且，可得，根據可得，設，由的單調性可得，即得.（2）方法一：先求的導數，存在兩個不相等的“F點”，，可以由和韋達定理表示出，的關系，再由，可得的關系式，根據已知解即得.方法二：由函數存在不相等的兩個“F點”和，可知，是關于x的方程組的兩個相異實數根，由得，分兩種情況：是函數一個“F點”，不是函數一個“F點”，進行討論即得.

解：（1）①當時， （），

則有（），令得，

列表如下：

x		1
		0
		極小值

故函數在處取得極小值，極小值為1，無極大值.

②設是函數的一個“F點”（）.

（），是函數的零點.

，由，得，，

由，得，即.

設，則，

所以函數在上單調增，注意到，

所以方程存在唯一實根1，所以，得，

根據①知，時，是函數的極小值點，

所以1是函數的“F點”.

綜上，得實數k的值為1.

（2）由（a，b，，），

可得（）.

又函數存在不相等的兩個“F點”和，

，是關于x的方程（）的兩個相異實數根.

又，，

，即，

從而

，，

即..

，

，

解得.所以，實數a的取值范圍為.

（2）（解法2）因為（ a，b，，）

所以（）.

又因為函數存在不相等的兩個“F點”和，

所以，是關于x的方程組的兩個相異實數根.

由得，.

（2.1）當是函數一個“F點”時，且.

所以，即.

又，

所以，所以.又，所以.

（2.2）當不是函數一個“F點”時，

則，是關于x的方程的兩個相異實數根.

又，所以得所以，得.

所以，得.

綜合（2.1）（2.2），實數a的取值范圍為.