Question

在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，設(shè)a+c=2b，A-C=

π

3

．求sinB的值．以下公式供解題時(shí)參考：
sinθ+sin∅=2sin

θ+?

2

cos

θ-?

2

，
sinθ-sin∅=2cos

θ+?

2

sin

θ-?

2

，
cosθ+cos∅=2cos

θ+?

2

cos

θ-?

2

，
cosθ-cos∅=-2sin

θ+?

2

sin

θ-?

2

．

Answer 1

分析：先根據(jù)正弦定理將邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的正弦的關(guān)系，再經(jīng)過和差化積和誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化即可求出

B

2

的余弦和正弦值，再由正弦的二倍角公式可得答案．

解答：解：由正弦定理和已知條件a+c=2b得sinA+sinC=2sinB．
由和差化積公式得2sin

A+C

2

cos

A-C

2

=2sinB．
由A+B+C=π得sin

A+C

2

=cos

B

2

，
又A-C=

π

3

得

3

2

cos

B

2

=sinB，
所以

3

2

cos

B

2

=2sin

B

2

cos

B

2

．
因?yàn)?＜

B

2

＜

π

2

，cos

B

2

≠0，
所以sin

B

2

=

3

4

，
從而cos

B

2

=

1-sin2 B 2

=

13

4

所以sinB=

3

2

×

13

4

=

39

8

．

點(diǎn)評(píng)：本小題考查正弦定理，同角三角函數(shù)基本公式，誘導(dǎo)公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查利用三角公式進(jìn)行恒等變形的技能及運(yùn)算能力．