Question

（2012•安徽模擬）已知函數(shù)f(x)=

e

x

-ln(x+1)-1，x∈[0，+∞)．
（1）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性并求出函數(shù)f（x）的最小值；
（2）若x∈[3，+∞）時(shí)，不等式

e

x-3

＞ln(x+1)-lnm恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系即可判斷函數(shù)的單調(diào)性，再依據(jù)單調(diào)性即可求得函數(shù)的最小值．
（2）不等式

e

x-3

＞ln(x+1)-lnm恒成立，即g（x）=e^x-3-ln（x+1）+lnm＞0恒成立，由此轉(zhuǎn)化為函數(shù)g（x）的最小值大于0即可解決．

解答：解：（1）f′（x）=ex-

1

x+1

．當(dāng)x≥0時(shí)，e^x≥1，

1

x+1

≤1，
所以當(dāng)x≥0時(shí)，f′（x）≥0．
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞）上是增函數(shù)，
∴當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)f（x）取最小值為0．
（2）設(shè)g（x）=e^x-3-ln（x+1）+lnm，且x∈[3，+∞），
則g′（x）=ex-3-

1

x+1

．由x∈[3，+∞）可知e^x-3≥1且

1

x+1

＜1，
所以g′（x）=ex-3-

1

x+1

＞0，
所以函數(shù)g（x）在[3，+∞）上為增函數(shù)，則g（x）≥g（3）=1-ln4+lnm．
由題意，不等式

e

x-3

＞ln(x+1)-lnm恒成立，
即g（x）＞0恒成立，所以g（3）=1-ln4+lnm＞0，解得m＞

4

e

．
故m的取值范圍為（

4

e

，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，屬中等難度．不等式恒成立問題往往轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題解決．解決該類問題時(shí)要注意考慮函數(shù)的定義域．