Question

設二次函數f（x）=ax²+bx+c（a≠0）滿足條件：（1）f（-1+x）=f（-1-x）；（2）函數在y軸上的截距為1，且f（x+1）-f（x）=x+．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若x∈[t，t+1]，f（x）的最小值為h（t），請寫出h（t）的表達式；
（3）若不等式在t∈[-2，2]時恒成立，求實數x的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由題意可得對稱軸-=-1、且c=1、且a（x+1）²+b（x+1）+c-[ax²+bx+c]=x+，
解得 a=，且 b=1，且c=1，故有．
（2）由x∈[t，t+1]，f（x）的對稱軸為x=-1，且f（x）的最小值為h（t），
當t+1＜-1，即t＜-2時，函數f（x）在區間[t，t+1]上是減函數，h（t）=f（t+1）=t²+2t+．
當 t≤-1≤t+1，即-2≤t≤-1時，h（t）=f（-1）=，
當t＞-1時，函數f（x）在區間[t，t+1]上是增函數，h（t）=f（t）=t²+t+1．
綜上可得，．
（3）由不等式在t∈[-2，2]時恒成立，可得 f（x）＞tx-1在t∈[-2，2]時恒成立，
即 m（x）=x²+（1-t）x+2＞0 在t∈[-2，2]時恒成立．
根據二次函數的圖象和性質可得，解得-1＜t＜3，
故t的范圍為（-1，3）．
分析：（1）由題意可得對稱軸-=-1、且c=1、且a（x+1）²+b（x+1）+c-[ax²+bx+c]=x+，解得a、b、c的值，可得函數f（x）的解析式．
（2）由f（x）的對稱軸為x=-1，分當t+1＜-1、當 t≤-1≤t+1、當t＞-1三種情況，分別利用二次函數的性質，求得函數f（x）在區間[t，t+1]上的最小值h（t）=f（t）的解析式，綜上可得結論．
（3）由不等式在t∈[-2，2]時恒成立，可得 f（x）＞tx-1在t∈[-2，2]時恒成立，即 m（x）=x²+（1-t）x+2＞0 在t∈[-2，2]時恒成立．根據二次函數的圖象和性質可得，由此解得t的范圍．
點評：本題主要考查復合函數的單調性，指數不等式的解法，二次函數的性質，函數的恒成立問題，屬于中檔題