Question

某同學對教材《選修2-2》上所研究函數f（x）=

1

3

x³-4x+4的性質進行變式研究，并結合TI-Nspire圖形計算器作圖進行直觀驗證（如圖所示），根據你所學的知識，指出下列錯誤的結論是（　　）

• A、f（x）的極大值為f（-2）=

  28

  3

• B、f（x）的極小值為f（2）=-

  4

  3

• C、f（x）的單調遞減區間為（-2，2）
• D、f（x）在區間[-3，3]上的最大值為f（-3）=7

Answer 1

分析：求函數f（x）的導數，利用函數性質和函數導數之間的關系進行判斷即可．

解答：解：∵f（x）=

1

3

x³-4x+4，
∴f'（x）=x²-4=（x-2）（x+2），
由f'（x）=（x-2）（x+2）＞0，解得x＞2或x＜-2，此時函數單調遞增，
由f'（x）=（x-2）（x+2）＜0，解得-2＜x＜2，此時函數單調遞減，∴C結論正確．
∴當x=-2時，函數f（x）取得極大值f（-2）=

28

3

，∴A結論正確．
當x=2時，函數f（x）取得極小值f（2）=-

4

3

，∴B結論正確．
∵f（3）=1，f（-3）=7，
∴f（x）在區間[-3，3]上的最大值為f（-2）=

28

3

，∴D結論錯誤．
故選：D．

點評：本題主要考查三次函數的圖象和性質，利用導數和函數單調性和極值之間的關系是解決本題的關鍵，要求熟練掌握函數的導數和性質之間的關系．