Question

【題目】一個正方體的平面展開圖及該正方體直觀圖的示意圖如圖所示，在正方體中，設BC的中點為M，GH的中點為N。

(1)請將字母F，G，H標記在正方體相應的頂點處(不需說明理由)；

(2)證明：直線MN∥平面BDH；

(3)過點M，N，H的平面將正方體分割為兩部分，求這兩部分的體積比．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】解：(1)點F，G，H的位置如圖所示．

(2)證明：連接BD，設O為BD的中點，連接OM，OH，AC，BH，MN。

∵M，N分別是BC，GH的中點，

∴OM∥CD，且OM＝CD，NH∥CD，且NH＝CD，

∴OM∥NH，OM＝NH，

則四邊形MNHO是平行四邊形，∴MN∥OH，

又∵MN平面BDH，OH平面BDH，

∴MN∥平面BDH。

(3)由(2)知OM∥NH，OM＝NH，連接GM，MH，過點M，N，H的平面就是平面GMH，它將正方體分割為兩個同高的棱柱，高都是GH，底面分別是四邊形BMGF和三角形MGC，

體積比等于底面積之比，即3∶1。