Question

設(shè)動(dòng)點(diǎn)P(x,y)(x≥0)到定點(diǎn)F的距離比到y(tǒng)軸的距離大.記點(diǎn)P的軌跡為曲線C.
(1)求點(diǎn)P的軌跡方程;
(2)設(shè)圓M過(guò)A(1,0),且圓心M在P的軌跡上,BD是圓M在y軸上截得的弦,當(dāng)M運(yùn)動(dòng)時(shí)弦長(zhǎng)BD是否為定值?說(shuō)明理由;
(3)過(guò)F作互相垂直的兩直線交曲線C于G、H、R、S,求四邊形GRHS面積的最小值.

Answer 1

(1) y²=2x  (2) BD=2,即弦長(zhǎng)BD為定值   (3)8

解析解:(1)由題意知,所求動(dòng)點(diǎn)P(x,y)的軌跡為以F為焦點(diǎn),直線l:x=-為準(zhǔn)線的拋物線,其方程為y²=2x.
(2)是定值.解法如下:設(shè)圓心M,
半徑r=,
圓的方程為+(y-a)²=a²+,
令x=0,得B(0,1+a),D(0,-1+a),
∴BD=2,即弦長(zhǎng)BD為定值.
(3)設(shè)過(guò)F的直線GH的方程為y=k,G(x₁,y₁),H(x₂,y₂),
由得k²x²-(k²+2)x+=0,
∴x₁+x₂=1+,x₁x₂=,
∴|GH|=·=2+,
同理得|RS|=2+2k².
S_{四邊形GRHS}=(2+2k²)= 2≥8(當(dāng)且僅當(dāng)k=±1時(shí)取等號(hào)).
∴四邊形GRHS面積的最小值為8.