Question

下面有四個命題：
（1）x=2kπ+

π

3

(k∈Z)是tanx=

3

的充分非必要條件；
（2）函數f （x）=|2cos²x-1|的最小正周期是π；
（3）函數f （x）=sin（x+

π

4

）在[-

π

2

，

π

2

]上是增函數；
（4）函數f （x）=asinx-bcosx的圖象的一條對稱軸為直線x=

π

4

，則a+b=0．
其中正確命題的序號是

（1）（4）

．

Answer 1

分析：根據正切函數的性質判斷①；周期函數的定義判斷②的正誤；函數的單調性判斷③；根據正弦函數的對稱軸判斷④，即可推出結果．

解答：解：（1）由于當x=2kπ+

π

3

(k∈Z)時，tanx=

3

，而tanx=

3

時，x=kπ+

π

3

(k∈Z)，所以x=2kπ+

π

3

(k∈Z)是tanx=

3

的充分非必要條件，故（1）正確；
（2）因為f（x）=|2cos²x-1|=|cos2x|，所以函數的最小正周期為

π

2

，所以（2）錯誤；
（3）因為函數f （x）=sin（x+

π

4

）的單調增區間為[2kπ-

3π

4

，2kπ+

π

4

]，所以（3）錯誤；
（4）由題意可得：f（

π

4

+x）=f（

π

4

-x） 對任意x∈R恒成立，即可得2acos

π

4

sinx=-2bsin

π

4

sinx 對任意x∈R恒成立，
即（a+b）sinx=0 對任意x∈R恒成立，所以a+b=0，所以（4）正確．
故答案為（1）（4）．

點評：本題主要考查三角函數的性質，如單調性，周期性，奇偶性以及對稱性，此題屬于中檔題型，考查計算能力，轉化思想的應用．