Question

（2012•河南模擬）如圖，焦距為2的橢圓E的兩個頂點分別為A和B，且

AB

與

n

=(

2

，-1)共線．
（Ⅰ）求橢圓E的標準方程；
（Ⅱ）若直線y=kx+m與橢圓E有兩個不同的交點P和Q，且原點O總在以PQ為直徑的圓的內部，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設橢圓E的標準方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)，由A（a，0）、B（0，b），知

AB

=(-a，b)，由

AB

與

n

=(

2

，-1)共線，知a=

2

b，由此能求出橢圓E的標準方程．
（Ⅱ）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），把直線方程y=kx+m代入橢圓方程

x2

2

+y2=1，得（2k²+1）x²+4kmx+2m²-2=0，故x1+x2=-

4km

2k2+1

，x1x2=

2m2-2

2k2+1

，△=16k²m²-4×（2k²+1）（2m²-2）=16k²-8m²+8＞0，由此能求出實數m的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）設橢圓E的標準方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)，
由已知得A（a，0）、B（0，b），
∴

AB

=(-a，b)，
∵

AB

與

n

=(

2

，-1)共線，
∴a=

2

b，又a²-b²=1（3分）
∴a²=2，b²=1，
∴橢圓E的標準方程為

x2

2

+y2=1（5分）
（Ⅱ）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
把直線方程y=kx+m代入橢圓方程

x2

2

+y2=1，
消去y，得，（2k²+1）x²+4kmx+2m²-2=0，
∴x1+x2=-

4km

2k2+1

，x1x2=

2m2-2

2k2+1

（7分）
△=16k²m²-4×（2k²+1）（2m²-2）=16k²-8m²+8＞0（*）                 （8分）
∵原點O總在以PQ為直徑的圓內，
∴

OP

•

OQ

＜0，即x₁x₂+y₁y₂＜0（9分）
又y1y2=(kx1+m)(kx1+m)=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2=

m2-2k2

2k2+1

由

m2-2k2

2k2+1

+

2m2-2

2k2+1

＜0得m2＜

2

3

k2+

2

3

，
依題意m2＜

2

3

且滿足（*）       （11分）
故實數m的取值范圍是(-

6

3

，

6

3

)（12分）

點評：本題考查橢圓參數方程的求法，考實數的取值范圍，考查橢圓標準方程，簡單幾何性質，直線與橢圓的位置關系等基礎知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數與方程思想，化歸與轉化思想．