Question

如圖在二面角α- l-β中，A、B∈α，C、D∈l，ABCD為矩形，P∈β，PA⊥α，且PA=AD，MN依次是AB、PC的中點(diǎn)

⑴ 求二面角α- l-β的大小

⑵ 求證明：MN⊥AB

⑶ 求異面直線PA與MN所成角的大小

Answer 1

解析:

⑴ 用垂線法作二面角的平面角

⑵ 只要證明AB垂直于過MN的一個(gè)平面即可

⑶ 過點(diǎn)A作MN的平行線，轉(zhuǎn)化為平面角求解

解：

⑴ 連PD

    ∵PA⊥α，AD⊥l

    ∴PD⊥l

    ∴∠PDA為二面角α- l-β的平面角

    在RTΔPAD中

    ∵PA=PD

    ∴∠PDA=45°

    ∴二面角α- l-β為45°

⑵ 設(shè)E是DC的中點(diǎn)，連ME、NE

∵M(jìn)、N、E分別為AB、PC、D的中點(diǎn)

∴ME∥AD，NE∥PD

∴ME⊥l，NE⊥l

∴l(xiāng)⊥平面MEN

∵AB∥l

∴AB⊥平面MEN

∵M(jìn)N??平面MNE

∴MN^AB

⑶ 設(shè)Q是DP聽中點(diǎn)，連NQ、AQ

   則NQ∥DC，且NQ=1/2DC

   ∵AM∥DC，且AM=1/2AB=1/2DC

   ∴QN∥AM，QN=AM

   ∴QNMQ為平行四邊形

   ∴AQ∥MN

   ∴∠PAQ為PA與MN所成的角

   ∵ΔPAQ為等腰直角三角形，AQ為斜邊上的中線

   ∴∠PAQ=45°

   即PA與MN所成角的大小為45°