Question

（Ⅰ）設｛a_n｝是集合中所有的數從小到大排列成的數列，即a₁＝3，a₂＝5，a₃＝6，a₄＝9，a₅＝10，a₆＝12，……

將數列｛a_n｝各項按照上小下大，左小右大的原則寫成如下的三角形數表：

（i）寫出這個三角形數表的第四行、第五行各數;

（ii）求a₁₀₀．

（Ⅱ）（本小題為附加題，如果解答正確，加4分，但全卷總分不超過150分）

設｛b_n｝是集合中所有的數從小到大排列成的數列，已知b_k =1160，求k．

Answer 1

（Ⅰ）解：（i）第四行    17   18   20   24

              第五行    33   34   36   40   48

（ii）解法一：設，只須確定正整數t₀，s₀

數列｛a_n｝中小于的項構成的子集為，

其元素個數為   

依題意      

滿足上式的最大整數t₀為14，所以取t₀＝14．

因為，由此解得s₀＝8．∴ a ₁₀₀＝2¹⁴＋2⁸＝16640．

解法二：n為a_n的下標．

三角形數表第一行第一個元下標為1．

第二行第一個元下標為

          ……

第t行第一個元下標為第t行第s個元下標為該元等于2^t＋2^t-1．

據此判斷a₁₀₀所在的行．

因為，所以a₁₀₀是三角形表第14行的第9個元

         a₁₀₀＝2¹⁴＋2^9-1＝16640．

（Ⅱ）（本小題為附加題，如果解答正確，加4分，但全卷總分不超過150分）

解：b_k＝1160＝2¹⁰＋2⁷＋2³．

令 M＝｛c∈B | c <1160｝  （其中，B＝）．

因M＝｛c∈B | c <2¹⁰｝∪｛c∈B | 2¹⁰ < c<2¹⁰＋2⁷｝ ∪｛c∈B | 2¹⁰＋2⁷< c<2¹⁰＋2⁷＋2³｝．

現在求M的元素個數：  ｛c∈B | c <2¹⁰｝＝，

其元素個數為; ｛c∈B | 2¹⁰ < c <2¹⁰＋2⁷｝＝｛2¹⁰＋2^s＋2^r | 0≤r<s<7｝

其元素個數為;  ｛c∈B | 2¹⁰＋2⁷ < c <2¹⁰＋2⁷＋2³ ｝＝｛2¹⁰＋2⁷＋2^r | 0≤r<3｝，

其元素個數為．