Question

已知函數

（1）討論函數f (x)的極值情況；

（2）設g (x) = ln (x + 1)，當x₁>x₂>0時，試比較f (x₁ – x₂)與g (x₁ – x₂)及g (x₁) –g (x₂)三者的大小；并說明理由．(參考公式: )

 

Answer 1

【答案】

（1）f (x)有極小值f (0) = 0，f (x)有極大值

（2）f (x₁ – x₂)> g (x₁ – x₂) > g (x₁) –g (x₂)

【解析】（1）當x>0時，f (x) = e^x – 1在(0，+∞)單調遞增，且f (x)>0；

    當x≤0時，．

    ①若m = 0，f ′(x) = x²≥0, f (x) =在(–∞，0]上單調遞增，且f (x) =．

    又f (0) = 0，∴f (x)在R上是增函數，無極植；

    ②若m<0，f ′(x) = x(x + 2m) >0，則f (x) =在(–∞，0)單調遞增，同①可知f (x)在R上也是增函數，無極值；…………………………………………4分

    ③若m>0，f (x)在(–∞，–2m]上單調遞增，在(–2m，0)單調遞減，

    又f (x)在(0, +∞)上遞增，故f (x)有極小值f (0) = 0，f (x)有極大值． 6分

    （2）當x >0時，先比較e^x – 1與ln(x + 1)的大小，

    設h(x) = e^x – 1–ln(x + 1)   (x >0)   ∴恒成立

    ∴h(x)在(0，+∞)是增函數，h(x)>h (0) = 0

    ∴e^x – 1–ln(x + 1) >0即e^x – 1>ln(x + 1)  也就是f (x) > g (x) ，成立．

    故當x₁ – x₂>0時，f (x₁ – x₂)> g (x₁ – x₂)……………………10分

    再比較與g (x₁) –g (x₂) = ln(x₁ + 1) –ln(x₂ + 1)的大小．

    =

       ∴g (x₁ – x₂) > g (x₁) –g (x₂)

    ∴f (x₁ – x₂)> g (x₁ – x₂) > g (x₁) –g (x₂) ．…………………14分