Question

已知動點P（x，y）與兩定點M（-1，0），N（1，0）連線的斜率之積等于常數λ（λ≠0）．
（1）求動點P的軌跡C的形狀；
（2）試根據λ的取值情況討論軌跡C的形狀；
（3）當λ=-2時，過E（1，0）作兩條互相垂直直線l₁、l₂，且分別與軌跡C交于A、B兩點，探究直線AB是否過定點？若過定點，請求出定點坐標；否則，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題設知直線PM與PN的斜率存在且均不為零，所以kPM•kPN=

y

x+1

•

y

x-1

=λ，由此能夠導出動點P的軌跡C的方程．
（2）當λ＞0時，軌跡C為中心在原點，焦點在x軸上的雙曲線（除去頂點）；當-1＜λ＜0時，軌跡C為中心在原點，焦點在x軸上的橢圓（除去長軸兩個端點）；當λ=-1時，軌跡C為以原點為圓心，1的半徑的圓除去點（-1，0），（1，0）；當λ＜-1時，軌跡C為中心在原點，焦點在y軸上的橢圓（除去短軸的兩個端點）．
（3）當λ=-2時，軌跡C的橢圓x2+

y2

2

=1（x≠±1），由題意知，由題意知，l₁的斜率存在，設l₁的方程為y=k（x-1），設l₂的方程為y=-

1

k

（x-1），代入橢圓方程中整理得（x-1）[（k²+2）x-k²]=0，由此入手能夠求出直線AB的方程，最后根據直線的方程得出它過定點．

解答：解：（1）由題設知直線PM與PN的斜率存在且均不為零
所以kPM•kPN=

y

x+1

•

y

x-1

=λ，
整理得x2-

y2

λ

=1（λ≠0，x≠±1）（3分）
（2）①當λ＞0時，軌跡C為中心在原點，焦點在x軸上的雙曲線（除去頂點）
②當-1＜λ＜0時，軌跡C為中心在原點，焦點在x軸上的橢圓（除去長軸兩個端點）
③當λ=-1時，軌跡C為以原點為圓心，1的半徑的圓除去點（-1，0），（1，0）
④當λ＜-1時，軌跡C為中心在原點，焦點在y軸上的橢圓（除去短軸的兩個端點）（7分）
（3）當λ=-2時，軌跡C的橢圓x2+

y2

2

=1（x≠±1）
由題意知，l₁的斜率存在
設l₁的方程為y=k（x-1），設l₂的方程為y=-

1

k

（x-1），
將l₁的方程代入橢圓方程中整理得
（x-1）[（k²+2）x-k²]=0（*）
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁，x₂的方程（*）的兩個實根，
則x₁=

k2-2

k2+2

，∴y₁=

-4k

k2+2

，即A（

k2-2

k2+2

，

-4k

k2+2

），
同理，得B（

1-2k 2

2k2+1

，

4k

2k2+1

），
∴直線AB的斜率為k_AB=

4k 2k2+1 -( -4k k2+2 )

1-2k 2 2k2+1 - k2-2 k2+2

=

3k

1-k2

（k≠±1）
∴直線AB的方程為：y+

4k

k2+2

=

3k

1-k2

（x-

k2-2

k2+2

），
化簡得：y=

3k

1-k2

（x+

1

3

），它恒過點（-

1

3

，0）
k=±1時，直線AB也過點（-

1

3

，0）．
∴直線AB過點（-

1

3

，0）．（13分）．

點評：本題考查直線和圓錐曲線的綜合運用，解題時要認真審題，注意分類討論思想和均值不等式的合理運用．