Question

對于集合M={1，2，3…，2n，…}，若集合A={a₁，a₂，…，a_n，…}，B={b₁，b₂，…，b_n，…}，n∈N^*，滿足A∪B=M．
（1）若數列{a_n}的通項公式是an=2n-1，求等差數列{b_n}的通項公式；
（2）若M為2n元集合，A∩B=∅且

n

k=1

an=

n

k=1

bn，則稱A∪B是集合M的一種“等和劃分”（A∪B與B∪A算是同一種劃分）．
已知集合M={1，2，…，12}
①若12∈A，集合A中有五個奇數，試確定集合A；
②試確定集合M共有多少種等和劃分？

Answer 1

分析：（1）利用a_n=2^n-1，可得A={1，2，4，8，…}，從而3，5，6，7∈B，由此可求等差數列{b_n}的通項公式；
（2）①因為12∈A，由于當集合A確定后，集合B便是唯一確定的，故只須考慮集合A的個數，確定集合A={a₁，a₂，…，a₆}，a₆為最大數，A₁={ a₁，a₂，…，a₅ }中有奇數個奇數，由此可結論；
②由①可知，若A₁ 中有五個奇數，得到唯一的A={1，3，5，7，11，12}，再考慮A₁ 中有三個奇數、兩個偶數，用p表示A₁中這兩個偶數，x₁，x₂ 之和，q表示A₁中這三個奇數y₁，y₂，y₃ 之和，則p≥6，q≥18．于是，q≤21，p≤18．共得A₁的24種情形；
（3）若A₁中有一個奇數、四個奇數，由于M中除12外，其余的五個偶數之和為2+4+6+8+10=30，從中去掉一個偶數，補加一個奇數，使A₁中五個數之和為27，可以得到A₁的4種情形，從而可得結論．

解答：解：（1）∵a_n=2^n-1，∴A={1，2，4，8，…}
∴3，5，6，7∈B，∴b_n的公差d=1                                …（2分）
若b₁=3，則b_n=3+n-1=n+2
若b₂=3，則b₁=2，則b_n=2+n-1=n+1
若b₃=3，則b_n=n                                              …（5分）
（2）①因為12∈A，由于當集合A確定后，集合B便是唯一確定的，故只須考慮集合A的個數
設集合A={a₁，a₂，…，a₆}，a₆為最大數，由1+2+…+12=78，知a₁+a₂+…+a₆=39，a₆=12，
于是a₁+a₂+…+a₅=27，故A₁={ a₁，a₂，…，a₅}中有奇數個奇數．
A₁ 中有五個奇數，因M中的六個奇數之和為36，而27=36-9，所以，A₁={1，3，5，7，11}．
此時，得到唯一的A={1，3，5，7，11，12}．…（8分）
②由①可知，若A₁ 中有五個奇數，得到唯一的A={1，3，5，7，11，12}
若A₁ 中有三個奇數、兩個偶數，用p表示A₁中這兩個偶數，x₁，x₂ 之和，q表示A₁中這三個奇數y₁，y₂，y₃ 之和，則p≥6，q≥18．于是，q≤21，p≤18．共得A₁的24種情形．…（10分）
①當p=6，q=21時，（ x₁，x₂）=（2，4），（y₁，y₂，y₃）=（1，9，11），（3，7，11），（5，7，9）可搭配成A₁的3種情形；
②當p=8，q=19時，（ x₁，x₂）=（2，6），（y₁，y₂，y₃）=（1，7，11），（3，5，11），（5，7，9）可搭配成A₁的3種情形；
③p=10，q=17時，（ x₁，x₂）=（2，8），（4，6）（y₁，y₂，y₃）=（1，5，11），（1，7，9），（3，5，9），可搭配成A₁的3種情形；
④p=12，q=15時，（ x₁，x₂）=（2，10），（4，8），（y₁，y₂，y₃）=（1，3，11），（1，5，9），（3，5，7），可搭配成A₁的6種情形；
⑤當p=14，q=13時，（ x₁，x₂）=（4，10），（6，8），（y₁，y₂，y₃）=（1，3，9），（1，5，7），可搭配成A₁的4種情形；
⑥當p=16，q=11時，（ x₁，x₂）=（6，10），（y₁，y₂，y₃）=（1，3，7）可搭配成A₁的1種情形；
⑦當p=18，q=9時，（ x₁，x₂）=（8，10），（y₁，y₂，y₃）=（1，3，5），可搭配成A₁的1種情形；
（3）若A₁中有一個奇數、四個奇數，由于M中除12外，其余的五個偶數之和為2+4+6+8+10=30，從中去掉一個偶數，補加一個奇數，使A₁中五個數之和為27，分別得到A₁的4種情形（7，2，4，6，8），（5，2，4，6，10），（3，2，4，8，10），（1，2，6，8，10）…（14分）
綜上，集合A有1+24+4=29種情形，即M有29種等和劃分．…（16分）

點評：本題考查新定義，考查學生分析解決問題的能力，正確理解與運用新定義是關鍵，屬于難題．