Question

（2007•奉賢區一模）已知：函數f(x)=

x

ax+b

(a，b∈R，ab≠0)，f(2)=

2

3

，f(x)=x有唯一的根．
（1）求a，b的值；
（2）數列{a_n}對n≥2，n∈N總有a_n=f（a_n-1），a₁=1；求出數列{a_n}的通項公式．
（3）是否存在這樣的數列{b_n}滿足：{b_n}為{a_n}的子數列（即{b_n}中的每一項都是{a_n}的項）且{b_n}為無窮等比數列，它的各項和為

1

2

．若存在，找出所有符合條件的數列{b_n}，寫出它的通項公式，并說明理由；若不存在，也需說明理由．

Answer 1

分析：（1）由f(2)=

2

3

⇒

2

2a+b

=

2

3

解法一：f（x）=x 有唯一根，所以

x

ax+b

=x即ax2+(b-1)x=0有唯一根，則可得△=（b-1）²=0，從而可求a，b
解法二：

x

ax+b

=x 即x（

1

ax+b

-1）=0，由方程有唯一的根可得

1

ax+b

-1=0的根也是x=0，從而可求a，b
（2）由an=

an-1

an-1+1

⇒

1

an

-

1

an-1

=1，從而可得{

1

an

}為等差數列，可求
（3）結合（2）可設{b_n} 的首項為

1

m

，公比為q （m∈N*，

1

q

∈N* ）由無窮等比數列的各項和為：

1 m

1-q

=

1

2

，可得

2

m

=1-q；當m=3 時，q=

1

3

，bn=(

1

3

)n；
當m=4時，q=

1

2

bn=(

1

2

)n+1 若當m=1，m=2 時，顯然不符合條件．，m＞4，則由0＜

2

m

＜

1

2

可得

1

2

＜q＜1⇒1＜

1

q

＜2 與

1

q

∈N* 矛盾從而可求．

解答：解：（1）f(2)=

2

3

⇒

2

2a+b

=

2

3

（1分）
解法一：f（x）=x 有唯一根，所以

x

ax+b

=x即ax2+(b-1)x=0有唯一根，（1分）
∴△=（b-1）²=0，（1分）
b=1 a=1 （1分）
有 b=1 a=1 得：方程的根為：x=0（1分）
經檢驗x=0是原方程的根（1分）
解法二：

x

ax+b

=x
x（

1

ax+b

-1）=0（1分）
　 x₁=0，因為方程有唯一的根（1分）
即：

1

ax+b

-1=0的根也是x=0，（1分）
得b=1 a=1 （1分）
經檢驗x=0是原方程的根（1分）
（2）an=

an-1

an-1+1

⇒

1

an

-

1

an-1

=1 （2分）
∴{

1

an

}為等差數列 （1分）
∴

1

an

=

1

a1

+(n-1)×1=n （2分）
所以 an=

1

n

（1分）
（3）設{b_n} 的首項為

1

m

，公比為q （m∈N*，

1

q

∈N* ）（1分）
所以這個無窮等比數列的各項和為：

1 m

1-q

=

1

2

，（1分）

2

m

=1-q；當m=3 時，q=

1

3

，bn=(

1

3

)n；
當m=4時，q=

1

2

bn=(

1

2

)n+1 （2分）
若當m=1，m=2 時，顯然不符合條件．
m＞4，則0＜

2

m

＜

1

2

∴

1

2

＜q＜1⇒1＜

1

q

＜2 與

1

q

∈N* 矛盾．
∴只有兩個符合條件的數列．（2分）

點評：本題主要考查了函數與數列的綜合知識的應用，解題的關鍵熟練掌握函數與數列的性質并能靈活應用．