Question

已知f(x)＝x2－2x－ln(x＋1)2.

(1)求f(x)的單調遞增區間；

(2)若函數F(x)＝f(x)－x2＋3x＋a在上只有一個零點，求實數a的取值范圍．

 

Answer 1

（1）(－，－1)和(，＋∞)（2）－2ln 2≤a＜2ln 3－2或a＝2ln 2－1.

【解析】(1)f(x)的定義域為{x|x≠－1}．

∵f(x)＝x2－2x－ln(x＋1)2，∴f′(x)＝2x－2－＝，

解得－＜x＜－1或x＞，

∴f(x)的單調遞增區間是(－，－1)和(，＋∞)．

(2)由已知得F(x)＝x－ln(x＋1)2＋a，且x≠－1，∴F′(x)＝1－＝.

∴當x＜－1或x＞1時，F′(x)＞0；當－1＜x＜1時，F′(x)＜0.

∴當－＜x＜1時，F′(x)＜0，此時，F(x)單調遞減；

當1＜x＜2時，F′(x)＞0，此時，F(x)單調遞增．

∵F＝－＋2ln 2＋a＞a，F(2)＝2－2ln 3＋a＜a，∴F＞F(2)．

∴F(x)在上只有一個零點?或F(1)＝0.

由得－2ln 2≤a＜2ln 3－2；

由F(1)＝0得a＝2ln 2－1.

∴實數a的取值范圍為－2ln 2≤a＜2ln 3－2或a＝2ln 2－1.