Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且a_n=

1

2

（3n+S_n）對一切正整數n成立
（Ⅰ）證明：數列{3+a_n}是等比數列，并求出數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設bn=

n

3

an，求數列{b_n}的前n項和B_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把S_n和S_n+1相減整理求得a_n+1=2a_n+3，整理出3+a_n+1=2（3+a_n），判斷出數列{3+a_n}是首相為6，公比為2的等比數列，求得3+a_n，則a_n的表達式可得．
（Ⅱ）把（Ⅰ）中的a_n代入b_n，求得其通項公式，進而利用錯位相減法求得數列的前n項的和．

解答：解：（Ⅰ）由已知得S_n=2a_n-3n，
S_n+1=2a_n+1-3（n+1），兩式相減并整理得：a_n+1=2a_n+3
所以3+a_n+1=2（3+a_n），又a₁=S₁=2a₁-3，a₁=3可知3+a₁=6≠0，進而可知a_n+3≠0
所以

3+an+1

3+an

=2，故數列{3+a_n}是首相為6，公比為2的等比數列，
所以3+a_n=6•2^n-1，即a_n=3（2ⁿ-1）
（Ⅱ）b_n=n（2ⁿ-1）=n2ⁿ-n
設T_n=1×2+2×2²+3×2³++n×2ⁿ（1）2T_n=1×2²+2×2³++（n-1）2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹（2）
由（2）-（1）得T_n=-（2+2²+2³++2ⁿ）+n2ⁿ⁺¹=-

2-2n+1

1-2

+n2n+1=2+(n-1)2n+1∴Bn=Tn-(1+2+3++n)=2+(n-1)2n+1-

n(n+1)

2

點評：本題主要考查了數列的遞推式的應用，數列的通項公式和數列的求和問題．應熟練掌握一些常用的數列的求和方法如公式法，錯位相減法，疊加法等．