Question

已知對任意的平面向量，把

AB

繞其起點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)θ角，得到向量

AP

=(xcosθ-ysinθ，xsinθ+ycosθ)，叫做把點B繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)θ角得到點P
①已知平面內(nèi)的點A（1，2），B(1+

2

，2-2

2

)，把點B繞點A沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)

7π

4

后得到點P，求點P的坐標(biāo)
②設(shè)平面內(nèi)曲線C上的每一點繞逆時針方向旋轉(zhuǎn)

π

4

后得到的點的軌跡是曲線x²-y²=1，求原來曲線C的方程．

Answer 1

分析：①設(shè)P（x，y），則

AP

=(x-1，y-2)，

AB

=(

2

，-2

2

)，根據(jù)把點B繞點A沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)

7π

4

后得到點P，
可得將

AB

繞點A沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)

7π

4

后得到

AP

，由此可得

AP

的坐標(biāo)，從而可求點P的坐標(biāo)
②利用旋轉(zhuǎn)變換確定旋轉(zhuǎn)前后，坐標(biāo)之間的關(guān)系，利用已知曲線的方程，我們可以求出原來曲線C的方程．

解答：解：①設(shè)P（x，y），則

AP

=(x-1，y-2)，

AB

=(

2

，-2

2

)…（2分）
將

AB

繞點A沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)

7π

4

后得到

AP

，
所以

AP

=(

2

cos

7π

4

+2

2

sin

7π

4

，

2

sin

7π

4

-2

2

cos

7π

4

)=（-1，-3）…（6分）
∴

x-1=-1 y-2=-3

，解得x=0，y=-1 …（7分）
∴點P的坐標(biāo)為（0，-1）
②設(shè)平面內(nèi)曲線C上的任一點Q（x，y），

OQ

繞O逆時針方向旋轉(zhuǎn)

π

4

后得到的點Q′（x′，y′），則

x′=xcos π 4 -ysin π 4 y′=xsin π 4 +ycos π 4

…（10分）
即

x′= 2 (x-y) 2 y′= 2 (+y) 2

…（11分）
又x′²-y′²=1 …（12分）
∴

1

2

(x-y)2-

1

2

(x+y)2=1…（13分）
化簡得：y=-

1

2x

…（14分）

點評：本題考查新定義，考查旋轉(zhuǎn)變換，利用旋轉(zhuǎn)變換公式是我們解題的關(guān)鍵．