Question

已知函數f(x)=1-2sin2(x-

θ

2

)+sin(2x-θ)，θ∈(0，

π

2

)是定義在R 上的奇函數．
（1）求θ的值和函數f（x）的單調遞減區間；
（2）若三角形ABC三個內角A、B、C的對應邊分別為a、b、c，△ABC的面積等于函數f（A）的最大值，求f（A）取最大值時a的最小值．

Answer 1

分析：（1）首先化簡函數f（x），根據奇函數可知f（0）=0，以及θ的范圍求出θ的值；由正弦函數的單調減區間，求得f（x）的單調減區間；
（2）先利用正弦的值域求得f（A）≤

2

，當A=

π

4

時等于三角形的面積，然后根據S_△ABC=

1

2

bcsinA，求得bc=4，進而由余弦定理和放縮求得a 的最小值．

解答：解：（1）f(x)=1-2sin2(x-

θ

2

)+sin(2x-θ)=cos(2x-θ)+sin(2x-θ)=

2

sin(2x-θ+

π

4

)（2分）
∵函數f（x）是定義在R上的奇函數，∴f（-x）=-f（x），易知f（0）=0，由f(0)=

2

sin(

π

4

-θ)=0，∴sin(

π

4

-θ)=0，∵θ∈(0，

π

2

)，∴

π

4

-θ=0，∴θ=

π

4

．（4分）
此時f(x)=

2

sin(2x-

π

4

+

π

4

)=

2

sin2x為R上的奇函數，∴θ=

π

4

符合題意（5分）
又由2kπ+

π

2

≤2x≤2kπ+

3π

2

，k∈Z，得kπ+

π

4

≤x≤kπ+

3π

4

，k∈Z，
∴函數f（x）的單調遞減區間為[kπ+

π

4

，kπ+

3π

4

]，(k∈Z)（7分）
（2）f(A)=

2

sin2A≤

2

 (當sin2A=1，即A=

π

4

時取等號)，
∴當A=

π

4

時，S△ABC=f(A)max=

2

，（9分）又S△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

bcsin

π

4

=

2

4

bc=

2

，∴bc=4，（10分）
由余弦定理可以知道a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-2bccos

π

4

≥2bc-

2

bc=4(2-

2

)，（12分）
∴a≥2

2- 2

 (當且僅當b=c時取等號)．
∴a的最小值是2

2- 2

（14分）

點評：本題考查了三角函數的最值和單調性，對于（2）問，注意放縮和余弦定理的運用，本題綜合性強，屬于中檔題．