Question

已知無窮數列{a_n}具有如下性質：①a₁為正整數；②對于任意的正整數n，當a_n為偶數時，a_n+1=

a n

2

；當a_n為奇數時，a_n+1=

an+1

2

．在數列{a_n}中，若當n≥k時，a_n=1，當1≤n＜k時，a_n＞1（k≥2，k∈N^*），則首項a₁可取數值的個數為

 

（用k表示）．

Answer 1

分析：我們用倒推的方式，當n≥k時，a_n=1，則a_n-1=2，a_n-2=3或4，即2個；a_n-3=5或6或7或8，即4個；a_n-4=9或10或11或12或13或14或15或16，即8個，從而可得結論．

解答：解：我們用倒推的方式，∵對于任意的正整數n，當a_n為偶數時，a_n+1=

a n

2

；
當a_n為奇數時，a_n+1=

an+1

2

，在數列{a_n}中，若當n≥k時，a_n=1，
∴a_n-1=2，a_n-2=3或4，即2個；a_n-3=5或6或7或8，即4個；a_n-4=9或10或11或12或13或14或15或16，即8個，
由此可知首項a₁可取數值的個數為2^k-2個．
故答案為：2^k-2．

點評：本題考查數列遞推式，考查學生分析解決問題的能力，用倒推的方式是解題的關鍵．