Question

已知，
（I）討論f（x）在區間（-2，+∞）上的單調性，并證明；
（II）若方程f（x）=g（x）至少有一個正數根，求實數m的取值范圍；
（Ⅲ）令t=2-m，對（II）中的m，求函數的最小值．
（其中[t]表示不超過t的最大整數，例如：[1]=1，[2.6]=2，[-2.6]=-3）

Answer 1

【答案】分析：（I）運用函數的定義判斷證明函數的單調性的步驟：①取值x₁，x₂∈（-2，+∞）；②作差f（x₁）-f（x₂）變形；③定號；④下結論；
（II）由f（x）=g（x），整理得：mx²+（m-3）x+1=0，然后對m進行分類討論，研究方程f（x）=g（x）至少有一個正數根，從而求出實數m的取值范圍．
（Ⅲ）若m=1，則t=1，；若m＜1，則，，取等號當且僅當這是不可能的，所以，從而只有當m=1時，g（t）取最小值1．
解答：解：（Ⅰ）因為，所以，當時，f（x）在區間（-2，+∞）上為增函數，
當時，f（x）在區間（-2，+∞）上為減函數．…（1分）
任取x₁，x₂∈（-2，+∞），且x₁＜x₂，則=，
因為x₁，x₂∈（-2，+∞），且x₁＜x₂，所以，（x₁+2）（x₂+2）＞0，且x₁-x₂＜0，當時，有f（x₁）-f（x₁）＜0，f（x）在區間（-2，+∞）上為增函數；
當時，有f（x₁）-f（x₁）＞0，f（x）在區間（-2，+∞）上為減函數．…（4分）
（Ⅱ）f（x）=g（x）?x-2m-5=mx²+（m-2）x-2m-4，整理得：mx²+（m-3）x+1=0，…（5分），
令h（x）=mx²+（m-3）x+1
當m=0時，，符合題設；
當m＜0時，必有△＞0，且，h（-2）=2m+7≠0，所以也符合題設；
當m＞0時，因為，
所以，方程的兩根必須都是正根，有：，
解得：0＜m≤1，
綜上所述，m≤1且．…（7分）
（Ⅲ）因為m≤1，所以t=2-m≥1，或0
若m=1，則t=1，；
若m＜1，則，，
取等號當且僅當這是不可能的，
所以，所以當m=1時，g（t）取最小值1．
…10
點評：本題主要考查函數單調性的應用．運用函數的定義判斷證明函數的單調性的步驟：（1）取值；（2）作差變形；（3）定號；（4）下結論．取值時，必須注意定義中的x₁、x₂具有的三個特征；變形時，一定要分解完全，對于抽象函數問題注意合理的利用條件等．