Question

拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn)，它的準(zhǔn)線過雙曲線-=1（a＞0，b＞0）的一個焦點(diǎn)，并與雙曲線實(shí)軸垂直，已知拋物線與雙曲線的一個交點(diǎn)為（，），求拋物線與雙曲線方程．

Answer 1

【答案】分析：首先根據(jù)拋物線的準(zhǔn)線過雙曲線的焦點(diǎn)，可得p=2c，再利用拋物線與雙曲線同過交點(diǎn)（，），求出c、p的值，進(jìn)而結(jié)合雙曲線的性質(zhì)a²+b²=c²，求解即可．
解答：解：由題設(shè)知，拋物線以雙曲線的右焦點(diǎn)為焦點(diǎn)，準(zhǔn)線過雙曲線的左焦點(diǎn)，∴p=2c．設(shè)拋物線方程為y²=4c•x，
∵拋物線過點(diǎn)（，），∴6=4c•．
∴c=1，故拋物線方程為y²=4x．
又雙曲線-=1過點(diǎn)（，），
∴-=1．又a²+b²=c²=1，∴-=1．
∴a²=或a²=9（舍）．
∴b²=，
故雙曲線方程為：4x²-=1．
點(diǎn)評：本題考查了拋物線和雙曲線方程的求法：待定系數(shù)法，熟練掌握圓錐曲線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，同時考查了學(xué)生的基本運(yùn)算能力與運(yùn)算技巧．