Question

已知數列{a_n}的前n項和為Sn，a1=1，a4=8，Sn=b•qn+c（q≠0，q≠±1，bc≠0，b+c=0），現把數列{a_n}的各項排成如圖所示的三角形形狀．記A（m，n）為第m行從左起第n個數（m、n∈N^*）．有下列命題：
①{a_n}為等比數列且其公比q=±2；
②當n=2m（m＞3）時，A（m，n）不存在；
③a28=A(6，9)，A(11，1)=2100；
④假設m為大于5的常數，且A(m，1)=am1，A(m，2)=am2…A(m，k)=amk，其中amk為A（m，n）的最大值，從所有m₁，m₂，m₃，…，m_k中任取一個數，若取得的數恰好為奇數的概率為

m-1

2m-1

，則m必然為偶數．
其中你認為正確的所有命題的序號是

②③④

．

Answer 1

分析：①n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（bq-b）q^n-1，故可得數列{a_n}是等比數列，由a₁=1，a₄=8，可得公比q=2，；
②第m行共有2m-1個數，而n=2m（m＞3，m、n∈N^*）；
③由圖形可知，奇數行，按下標順序從小到大排列，偶數行，按下標順序從大到消排列，且第6行的第一個數為a₃₆，第11行的第一個數為a₁₀₁；
④an=2n-1，m為大于5的常數，且A(m，1)=am1，A(m，2)=am2…A(m，k)=amk，A（m，1）=2m1-1，A（m，2）=2m2-1，…，A（m，k）=2mk-1，由此能夠得到結論．

解答：解：①n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（bq-b）q^n-1，∴

an+1

an

=q，∴數列{a_n}是等比數列，
∵a₁=1，a₄=8，∴公比q=2，故①不正確；
②∵第m行共有2m-1個數，∴n=2m（m＞3，m、n∈N^*）時，A（m，n）不存在，故②正確；
③由圖形可知，奇數行，按下標順序從小到大排列，
偶數行，按下標順序從大到小排列，
且第6行的第一個數為a₃₆，
第11行的第一個數為a₁₀₁，
故a28=A（6，9），A（11，1）=2100，即③正確；
④∵an=2n-1，m為大于5的常數，且A(m，1)=am1，A(m，2)=am2…A(m，k)=amk，
∴A（m，1）=2m1-1，A（m，2）=2m2-1，…，A（m，k）=2mk-1，
∵從所有m₁，m₂，m₃，…，m_k中任取一個數，取得的數恰好為奇數的概率為

m-1

2m-1

，
∴m必然為偶數，故④正確．
故答案為：②③④．

點評：本題主要考查學生對數列的觀察能力，應用能力，及等比數列的通項，屬中檔題型．