Question

某遠洋捕漁船到遠海捕魚,由于遠海漁業資源豐富,每撒一次網都有w萬元的收益;同時,又由于遠海風云未測,每撒一次網存在遭遇沉船事故的可能,其概率為(常數k為大于1的正整數).假定,捕魚船噸位很大,可以裝下n次撒網所捕的魚,而在每次撒網時,發生不發生沉船事故與前一次撒網無關,若發生沉船事故,則原來所獲的收益將隨船的沉沒而不存在,又已知船長計劃在此處撒網n次.

(1)當n=3時,求捕魚收益的期望值;

(2)試求n的值,使這次遠洋捕魚收益的期望值達到最大.

Answer 1

解:(1)列表:

收益	0	3ω
P	1-(1)3	(1)3

所以收益的期望值=3w(1)³.

(2)列表:

收益	0	nω
P	1-(1)n	(1)n

因此,撒了n次網收益的期望值等于f(n)=wn(1)ⁿ.

f(n+1)=w(n+1)(1)ⁿ⁺¹=wn(1)ⁿ(1)=f(n)［1+］.

∵［1+］≥1等價于(k-1)-n≥0,得n≤k-1,

∴當n＜k-1時,f(n+1)＞f(n);當n=k-1時,f(n+1)=f(n);當n＞k-1時,f(n+1)＜f(n);

因此,當n=k-1時,f(n)達到最大.