Question

【題目】設數列的前n項和為，對任意的正整數n，都有成立，記.

(1)求數列與數列的通項公式；

(2)求證：①對恒成立.②對恒成立，其中為數列的前n項和.

(3)記，為的前n項和，求證：對任意正整數n，都有.

Answer 1

【答案】(1)，；(2)①證明見解析；②證明見解析；(3)證明見解析.

【解析】

（1）利用遞推關系式證得數列是等比數列，由此求得數列的通項公式，進而求得數列的通項公式.

（2）①利用（1）中求得的數列的通項公式，化簡，由此證得.

②將分成偶數和奇數兩種情況，利用分組求和法，證得對恒成立.

（3）化簡，得到，利用放縮法證得.

(1)解：當時，，∴.

又∵，，

∴，即，

∴數列成等比數列，其首項為，公比，

∴，∴；

(2)證明：①由(1)知.

注意到，所以

∵；

②當n為偶數時，設，

則；

當n為奇數時，設，

則，

∴對一切的正整數n，都有；

(3)證明：由(1)知，

得

.

又，，∴，

∴當時，；

當時，.