Question

(本小題滿分12分)      已知函數(shù)f (x) = ax² + 2ln(1-x)，其中a∈R.

（1）是否存在實(shí)數(shù)a，使得f (x)在x =處取極值？若存在，求出a的值，若不存在，說明理由；

（2）若f (x)在[-1,]上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（1）f (x)定義域?yàn)閧x | x<1}，f ′(x) = 2ax   

假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使f (x)在x =處取極值，則

f ′() = a – 4 = 0， ∴a = 4           ------------------ 3分

此時(shí)，f ′(x) = 8x = 

當(dāng)x <時(shí)，f ′(x) < 0；當(dāng)<x<1時(shí)，f ′(x) < 0.

∴x =不是f (x)的極值點(diǎn)，

故不存在實(shí)數(shù)a，使f (x)在x =處極值         ------------- 6分

（2）解法一：依題意知：當(dāng)x∈[-1,]時(shí)，f ′(x) ≤0恒成立，

f ′(x)≤02ax – ≤0ax≤ 

①當(dāng)x = 0時(shí)，不等式顯然成立；

②當(dāng)-1≤x<0時(shí)，a≥

∵-1≤x<0   ∴ x (1 – x) = – (x –)² + ∈

∴≤   ∴a≥                    ------------- 9分

③當(dāng)0<x≤時(shí)，a≤

∵x∈，∴x (1 – x) = – (x –)² + ∈

∴≥4   ∴a≤4

綜上可知，≤a≤4為所求                 ---------------- 12分

解法二：依題意知：當(dāng)x∈[-1,]時(shí)，f ′(x) ≤0恒成立，

f ′(x) ≤02ax – ≤0≥0ax² – ax + 1≥0

令g (x) = ax² – ax + 1 = a (x)² + 1, x∈ 

①  當(dāng)a = 0時(shí)，g (x) = 1>0成立；

②當(dāng)a>0時(shí)，g (x)在上遞減，則

g (x)_min = g () = 1≥0   ∴0<a≤4         ------------ 9分

③當(dāng)a<0時(shí)，g (x)在上遞增，則

g (x)_min = g (-1) = 2a + 1≥0   ∴0>a≥ 

綜上，≤a≤4為所求                -------------------- 12分

【命題分析】本題主要考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法，分類討論的數(shù)學(xué)思想和分析推理能力.

【解析】略