Question

（本小題滿分12分）

已知函數f(x)＝x－ln(x＋a)．（a是常數）

(I)求函數f(x)的單調區間；

(II) 當在x＝1處取得極值時，若關于x的方程f(x)＋2x＝x2＋b在[，2]上恰有兩個不相等的實數根，求實數b的取值范圍；

(III)求證:當時．

 

Answer 1

【答案】

 

(I) 函數的減區間為，增區間為

(II)

(III)證明略

【解析】解：(I) 由已知由函數的定義域為，，

，

由得，

由得，

所以函數的減區間為，增區間為．    …4分

（II）由題意，得 ， a＝0 ．         ……5分

由(Ⅰ)知f(x)＝x－lnx，

∴f(x)＋2x＝x2＋b  ，即 x－lnx＋2x＝x2＋b  ， x2－3x＋lnx＋b＝0，

設＝x2－3x＋lnx＋b(x＞0)，

則＝2x－3＋＝,  

當變化時，，的變化情況如下表：

x		(，1)	1	(1，2)	2
	0	－	0	＋
	b－－ln2	↘	b－2	↗	b－2＋ln2

……6分

∵方程f(x)＋2x＝x2＋b在[，2]上恰有兩個不相等的實數根,

  , ,

  ＋ln2≤b<2，即．  ……8分

(III)由(I) 和(II)可知當時,,即,     

當時,  ．                                         ……… 10分

令（）,則．

所以當時,

,

即,

．                     ……12分