Question

已知F₁、F₂為雙曲線的兩個焦點，P為雙曲線右支上異于頂點的任意一點，O為坐標原點，下列四個命題：
①△PF₁F₂的內切圓的圓心必在直線x=3上；
②△PF₁F₂的內切圓的圓心必在直線x=2上；
③△PF₁F₂的內切圓的圓心必在直線OP上；
④△PF₁F₂的內切圓必過（3，0）．
其中真命題的序號是________．

Answer 1

①④
分析：設△PF₁F₂的內切圓分別與PF₁、PF₂切于點A、B，與F₁F₂切于點M，則可知|PA|=|PB|，|F₁A|=|F₁M|，|F₂B|=|F₂M|，點P在雙曲線右支上，根據雙曲線的定義可得|PF₁|-|PF₂|=2a，因此|F₁M|-|F₂M|=2a，設M點坐標為（x，0），代入即可求得x，判斷①④正確．
解答：設△PF₁F₂的內切圓分別與PF₁、PF₂切于點A、B，與F₁F₂切于點M，則可知|PA|=|PB|，|F₁A|=|F₁M|，|F₂B|=|F₂M|，點P在雙曲線右支上，所以|PF₁|-|PF₂|=2a=6，故|F₁M|-|F₂M|=6，而|F₁M|+|F₂M|=2，
設M點坐標為（x，0），
則由|PF₁|-|PF₂|=2a=6，可得（x+）-（-x）=6，解得x=3，顯然內切圓的圓心與點M的連線垂直于x軸，
故答案為①④．
點評：本題主要考查了雙曲線的簡單性質．特別是靈活利用了雙曲線的定義．