Question

已知數列的前項和為，，是與的等差中項（）.
（1）求數列的通項公式；
（2）是否存在正整數，使不等式恒成立，若存在，求出
的最大值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1） （2）存在,11

試題分析：
（1）解法一：根據是與的等差中項，利用等差中項得到，（）①,
當時有 ②,則①-②可得，從而可得數列通項.
解法二:根據是與的等差中項，利用等差中項得到，（）①,根據該式的結構特征,利用構造法,可構造出等比數列,從而求得,進而利用得到數列的通項.
（2）根據（1）的結論可知,數列是等比數列,所以可以得到其前項和;代入化簡,討論的奇偶發現, 為奇數時,恒成立; 為偶數時,可將其轉化為二次函數在固定區間恒成立問題,利用單調性可判斷是否存在這樣的正整數.
試題解析：（1）解法一：因為是與的等差中項，
所以（），即，（）①
當時有 ②                             
①-②得，即對都成立     
又根據①有即，所以
所以. 所以數列是首項為1,公比為的等比數列.
解法二：  因為是與的等差中項，
所以（），即，（）
由此得（），
又，所以（），
所以數列是以為首項，為公比的等比數列. 
得，即（），
所以，當時，，     
又時，也適合上式，所以.
（2）根據（1）的結論可知,
數列是首項為1,公比為的等比數列,
所以其前項和為.
原問題等價于（）①恒成立.
當為奇數時，不等式左邊恒為負數,右邊恒為正數,所以對任意正整數不等式恒成立；
當為偶數時，①等價于恒成立，
令，有，則①等價于在恒成立，     
因為為正整數，二次函數的對稱軸顯然在軸左側,
所以當時,二次函數為增函數,故只須，解得，，
所以存在符合要求的正整數，且其最大值為11.             求通項;構造等比數列法;分類討論;二次函數在固定區間恒成立.