Question

【題目】已知a∈R，若f（x）=（x+ ）ex在區間（0，1）上只有一個極值點，則a的取值范圍為（ ）
A.a＞0
B.a≤1
C.a＞1
D.a≤0

Answer 1

【答案】A
【解析】解：∵f（x）=（x+ ）ex ， ∴f′（x）=（ ）ex ，
設h（x）=x3+x2+ax﹣a，
∴h′（x）=3x2+2x+a，
a＞0，h′（x）＞0在（0，1）上恒成立，即函數h（x）在（0，1）上為增函數，
∵h（0）=﹣a＜0，h（1）=2＞0，
∴h（x）在（0，1）上有且只有一個零點x0 ， 使得f′（x0）=0，
且在（0，x0）上，f′（x）＜0，在（x0 ， 1）上，f′（x）＞0，
∴x0為函數f（x）在（0，1）上唯一的極小值點；
a=0時，x∈（0，1），h′（x）=3x2+2x＞0成立，函數h（x）在（0，1）上為增函數，
此時h（0）=0，∴h（x）＞0在（0，1）上恒成立，
即f′（x）＞0，函數f（x）在（0，1）上為單調增函數，函數f（x）在（0，1）上無極值；
a＜0時，h（x）=x3+x2+a（x﹣1），
∵x∈（0，1），∴h（x）＞0在（0，1）上恒成立，
即f′（x）＞0，函數f（x）在（0，1）上為單調增函數，函數f（x）在（0，1）上無極值．
綜上所述，a＞0．
故選：A．
求導數，分類討論，利用極值、函數單調性，即可確定a的取值范圍．