Question

(本小題滿分14分)設,函數.

(1) 若，求曲線在處的切線方程；

(2) 若無零點,求實數的取值范圍；

(3) 若有兩個相異零點,求證: .

 

Answer 1

【答案】

(1) ；

(2) ；

(3)見解析

【解析】本試題主要是考查了導數的幾何意義的運用，以及求解函數的零點的運算，和不等式的綜合運用。

（1）由于函數的導數可知函數在沒一點的切線的斜率得到切線的斜率和點的坐標，從而得到切線方程。

（2）由于函數無零點，說明圖像與x沒有交點，函數無零點方程即在上無實數解。利用導數判定單調性得到極值進而得到結論。

（3）原不等式

設函數,結合導數分析證明。

解：方法一

在區間上,.  ……………………1分

（1）當時，，則切線方程為，即 …………3分

（2）①若,則,是區間上的增函數,  

,,

,函數在區間有唯一零點.  …………6分

②若,有唯一零點.    …………7分

③若,令得: .               

在區間上, ,函數是增函數;

在區間上, ,函數是減函數;

故在區間上, 的極大值為.

由即,解得:.

故所求實數a的取值范圍是.    …………9分

方法二、函數無零點方程即在上無實數解…………4分

令，則

由即得：        …………6分

在區間上, ,函數是增函數;

在區間上, ,函數是減函數;

故在區間上, 的極大值為.  …………7分

注意到時，；時；時，故方程在上無實數解.

即所求實數a的取值范圍是.      …………9分

[注:解法二只說明了的值域是,但并沒有證明.]

(3) 設

,

原不等式

令,則,于是.…………12分

設函數,

求導得:

故函數是上的增函數,

即不等式成立,故所證不等式成立.………14分