已知f(x)＝x(x－a)(x－b)，點A(s，f(s))，B(t，f(t))．
(1)若a＝b＝1，求函數f(x)的單調遞增區間；
(2)若函數f(x)的導函數
滿足：當|x|≤1時，有
恒成立，求函數f(x)的解析表達式；
(3)若0＜a＜b，函數f(x)在x＝s和x＝t處取得極值，且a＋b＝
，證明：
與
不可能垂直．
解：(Ⅰ)
，
令
得
，解得
故
的增區間
和
(Ⅱ)
(x)＝
當x∈[－1，1]時，恒有|(x)|≤
． 4分
故有
≤(1)≤，
≤(－1)≤，
及≤(0)≤， 5分
即
6分
①＋②，得
≤
≤， 8分
又由③，得
＝，將上式代回①和②，得
故
． 9分
(Ⅲ)假設
⊥
，
即
＝
10分
故(s－a)(s－b)(t－a)(t－b)＝－1
[st－(s＋t)a＋a2][st－(s＋t)b＋b2]＝－1， 11分
由s，t為(x)＝0的兩根可得，s＋t＝
(a＋b)，st＝
，(0＜a＜b)
從而有ab(a－b)2＝9． 12分
這樣
即
≥2
，這與＜2
矛盾． 13分
故與不可能垂直． 14分
科目：高中數學 來源：天津一中2008－2009年高三年級三月考數學試卷(理) 題型：044
已知f(x)＝
(x∈R)，在區間[－1，1]上是增函數．
(1)求實數a的值組成的集合A；
(2)設關于x的方程f(x)＝
的兩個非零實根為x1、x2，試問：是否存在實數m，使得不等式m2＋tm＋1≥|x1－x2|對任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立？若存在，求m的取值范圍；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：單選題
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科目：高中數學 來源： 題型：
已知f(x)＝|x|(x－4)．
(1)把f(x)寫成分段函數的形式；
(2)畫出函數f(x)的圖象；
(3)利用圖象回答：當k為何值時，方程|x|(x－4)＝k有一解？有兩解？有三解？
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科目：高中數學 來源：2011-2012學年河北省高三8月月考理科數學試卷（解析版） 題型：解答題
已知函數f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝±1處取得極值，且在x＝0處的切線的斜率為－3.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若過點A(2，m)可作曲線y＝f(x)的三條切線，求實數m的取值范圍．
【解析】本試題主要考查了導數在研究函數中的運用。第一問，利用函數f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝±1處取得極值，且在x＝0處的切線的斜率為－3，得到c＝－3 ∴a＝1, f(x)＝x3－3x
(2)中設切點為(x0，x03－3x0)，因為過點A(2，m)，所以∴m－(x03－3x0)＝(3x02－3)(2－x0)分離參數∴m＝－2x03＋6x02－6
然后利用g(x)＝－2x3＋6x2－6函數求導數，判定單調性，從而得到要是有三解，則需要滿足－6<m<2
解：(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c
依題意
又f′(0)＝－3
∴c＝－3 ∴a＝1 ∴f(x)＝x3－3x
(2)設切點為(x0，x03－3x0)，
∵f′(x)＝3x2－3，∴f′(x0)＝3x02－3
∴切線方程為y－(x03－3x0)＝(3x02－3)(x－x0)
又切線過點A(2，m)
∴m－(x03－3x0)＝(3x02－3)(2－x0)
∴m＝－2x03＋6x02－6
令g(x)＝－2x3＋6x2－6
則g′(x)＝－6x2＋12x＝－6x(x－2)
由g′(x)＝0得x＝0或x＝2
∴g(x)在(－∞，0)單調遞減，(0,2)單調遞增，(2，＋∞)單調遞減．
∴g(x)極小值＝g(0)＝－6，g(x)極大值＝g(2)＝2
畫出草圖知，當－6<m<2時，m＝－2x3＋6x2－6有三解，
所以m的取值范圍是(－6,2)．
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