Question

已知點A（-2，-2），B（-2，6），C（4，-2），點P在圓x²+y²=4上運動，則|PA|²+|PB|²+|PC|²的最大值與最小值之和為

160

．

Answer 1

分析：由點A（-2，-2），B（-2，6），C（4，-2），設P（a，b），則|PA|²+|PB|²+|PC|²=3a²+3b²-4b+68，由點P在圓x²+y²=4上運動，知-2≤b≤2．把a²=4-b²代入3a²+3b²-4b+68=-4b+80，由此能求出|PA|²+|PB|²+|PC|²的最大值與最小值之和．

解答：解：∵點A（-2，-2），B（-2，6），C（4，-2），
∴設P（a，b），
則|PA|²+|PB|²+|PC|²
=（a+2）²+（b+2）²+（a+2）²+（b-6）²+（a-4）²+（b+2）²
=3a²+3b²-4b+68，
∵點P在圓x²+y²=4上運動，
∴a²+b²=4，
a²=4-b²≥0，
所以b²≤4，
∴-2≤b≤2．
把a²=4-b²代入3a²+3b²-4b+68
=12-3b²+3b²-4b+68
=-4b+80，
∵-2≤b≤2，
所以-8≤-4b≤8
80-8≤80-4b≤80+8，
72≤-4b+80≤88
∴最大值是88，最小值是72，
∴|PA|²+|PB|²+|PC|²的最大值與最小值之和88+72=160．
故答案為：160．

點評：本題考查直線的一般式方程與兩點間距離公式的應用，具體涉及到直線方程秘圓的簡單性質，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．