Question

已知函數（ a為常數、a∈R），．
（1）討論函數f（x）的單調性；
（2）當a=1時，判斷函數g（x）的零點的個數，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由f（x）的解析式求出f（x）的導函數，且求出f（x）的定義域，分a大于等于0和a小于0兩種情況，分別令導函數大于0列出關于x的不等式，求出不等式的解集即可得到x的范圍即為函數的遞增區間；令導函數小于0列出關于x的不等式，求出不等式的解集即可得到x的范圍即為函數的遞減區間；
（2）把a=1代入f（x）中確定出f（x）的解析式，然后把f（x）的解析式代入到g（x）中確定出g（x）的解析式，求出g（x）的導函數，分別令導函數大于0和小于0得到函數的單調區間，根據函數的增減性得到g（x）的最小值，根據最小值小于0得到函數沒有零點即零點個數為0．
解答：解：（1）由f（x）=x²+alnx，得f′（x）=x+=，其中x＞0．
當a≥0時，f′（x）＞0對任意x∈（0，+∞）均成立，這是f（x）在區間（0，+∞）上單調遞增；
當a＜0時，由f′（x）＞0⇒x＞或x＜-（舍）
由f′（x）＜0⇒0＜x＜，
∴f（x）在區間（，+∞）上單調遞增，在區間（0，）上單調遞減；

（2）a=1時，g（x）=f（x）-x³=x²+lnx-x³，
g′（x）=x+-2x²=，其中x＞0，
∴x∈（0，1）時，g′（x）＞0，函數g（x）單調遞增；x∈（1，+∞）時，g′（x）＜0，函數g（x）單調遞減．
∴[g（x）]_min=g（1）=-＜0，
∴函數g（x）零點的個數為0．
點評：此題考查學生會根據導函數的正負得到函數的單調區間，會根據函數的增減性得到函數的最值，掌握函數零點的判斷方法，是一道綜合題．