Question

已知：函數f(x)=-

1

6

x3+

1

2

x2+x，x∈R．
（Ⅰ）求證：函數f（x）的圖象關于點A(1，

4

3

)中心對稱，并求f（-2007）+f（-2006）+…+f（0）+f（1）+…+f（2009）的值．
（Ⅱ）設g（x）=f′（x），a_n+1=g（a_n），n∈N^₊，且1＜a₁＜2，求證：
（ⅰ）請用數學歸納法證明：當n≥2時，1＜an＜

3

2

；
（ⅱ）|a1-

2

|+|a2-

2

|+…+|an-

2

|＜2．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設P（1-x₁，y₁）是函數f（x）的圖象上的任一點，則P關于點A(1，

4

3

)的對稱點是Q（1+x₁，

8

3

-y1），證明Q也在函數f（x）的圖象上，即可得到結論；根據f（1+x₁）+f（1-x₁）=

8

3

，f（1）=

4

3

，利用倒序相加法，即可求得結論；
（Ⅱ）g（x）=f′（x）=-

1

2

x2+x+1．（ⅰ）先證明當n=2時，命題成立，再利用g（x）在[1，+∞）上單調遞減，證明n=k+1時，命題成立，即可得到結論；
（ⅱ）先證明|an+1-

2

|＜

1

2

|an-

2

|，再利用等比數列的求和公式，即可得到結論．

解答：（Ⅰ）證明：設P（1-x₁，y₁）是函數f（x）的圖象上的任一點，則P關于點A(1，

4

3

)的對稱點是Q（1+x₁，

8

3

-y1）
∵f（1+x₁）+f（1-x₁）=[-

1

6

(1+x1)3+

1

2

(1+x1)2+(1+x1)]+[-

1

6

(1-x1)3+

1

2

(1-x1)2+(1-x1)]=

8

3

∴f（1+x₁）=

8

3

-f（1-x₁）=

8

3

-y₁，
∴Q也在函數f（x）的圖象上
∴函數f（x）的圖象關于點A(1，

4

3

)中心對稱；
∵f（1+x₁）+f（1-x₁）=

8

3

，f（1）=

4

3

∴f（-2007）+f（-2006）+…+f（0）+f（1）+…+f（2009）+f（2009）+f（2008）+…+f（2）+f（1）+…+f（-2007）=

8

3

×4017
∴f（-2007）+f（-2006）+…+f（0）+f（1）+…+f（2009）=5356；
（Ⅱ）證明：g（x）=f′（x）=-

1

2

x2+x+1．
（ⅰ）（1）當n=2時，a₂=g（a₁）=-

1

2

(a1-1)2+

3

2

∵1＜a₁＜2，∴1＜a₂＜

3

2

，∴命題成立
（2）假設n=k（k≥2）時，1＜a_k＜

3

2

，則a_k+1=g（a_k）=-

1

2

(ak-1)2+

3

2

∵g（x）在[1，+∞）上單調遞減，∴1-g（2）＜g（

3

2

）＜a_k+1＜g（1）=

3

2

∴n=k+1時，命題成立
由（1）（2）可知，當n≥2時，1＜an＜

3

2

；
（ⅱ）|an+1-

2

|=

1

2

|an-

2

||an-2+

2

|
∵1＜an＜

3

2

，∴|an-2+

2

|＜1
∴|an+1-

2

|＜

1

2

|an-

2

|
∴|an-

2

|＜

1

2

|an-1-

2

|＜…＜

1

2n-1

|a2-

2

|＜

1

2n-1

∴|a1-

2

|+|a2-

2

|+…+|an-

2

|＜1+

1

2

+…

1

2n-1

=2-

1

2n-1

＜2
∴|a1-

2

|+|a2-

2

|+…+|an-

2

|＜2．

點評：本題考查函數圖象的對稱性，考查數學歸納法，考查不等式的證明，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．