Question

設A（x₁，x₂）、B（x₂，y₂）是拋物線x²=4y上不同的兩點，且該拋物線在點A、B處的兩條切線相交于點C，并且滿足

AC

•

BC

=0．
（1）求證：x_1•x₂=-4；
（2）判斷拋物線x²=4y的準線與經過A、B、C三點的圓的位置關系，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）先求出拋物線方程的導函數，進而設出點A、B處的切線的斜率；再利用

AC

•

BC

=0得到

AC

⊥

BC

，即可得到關于點A、B橫坐標之間的等量關系，即可證明結論．
（2）先利用

AC

•

BC

=0得經過A、B、C三點的圓的圓心為線段AB的中點D，利用中點坐標公式求出點D；再利用兩點間的距離公式求出圓的半徑的表達式，整理即可得到拋物線x²=4y的準線與經過A、B、C三點的圓的位置關系．

解答：證明：（1）由x²=4y得y=

1

4

x2，則y′=

1

2

x，
∴拋物線x²=4y在點A（x₁，x₂）、B（x₂，y₂）處的切線的斜率分別為

1

2

x1，

1

2

x2，…（2分）
∵

AC

•

BC

=0，∴

AC

⊥

BC

，…（4分）
∴拋物線x²=4y在點A（x₁，x₂）、B（x₂，y₂）處兩切線互相垂直，
∴

1

2

x1•

1

2

x2=-1，
∴x_1•x₂=-4．…（6分）
解：（2）∵

AC

•

BC

=0，
∴

AC

⊥

BC

，
∴經過A、B、C三點的圓的圓心為線段AB的中點D，
圓心D(

x1+x2

2

，

y1+y2

2

)，…（8分）
∵拋物線x²=4y的準線方程為y=-1，
∴點D(

x1+x2

2

，

y1+y2

2

)到直線
y=-1的距離為d=

y1+y2

2

+1，…（10分）
∵經過A、B、C三點的圓的半徑r=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

2

，
由于x₁²=4y₁，x₂²=4y₂，且x_1•x₂=-4，則y1y2=

1

16

(x1x2)2=1，
∴r=

x12+x22-2x1x2+(y1+y2)2-4y1y2

2

=

4y1+4y2+8+(y1+y2)2-4

2

=

(y1+y2)2+4(y1+y2)+4

2

=

(y1+y2+2)2

2

=

y1+y2+2

2

=

y1+y2

2

+1，…（12分）
∴d=r，
∴拋物線x²=4y準線與經過A、B、C三點的圓相切．…（14分）

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合問題，做這一類型題目的關鍵是看清題中給出的條件，靈活運用中點坐標公式以及點到直線的距離公式，拋圓錐曲線的定義進行求解．