Question

設△ABC和△DBC所在的兩個平面互相垂直，且AB=BC=BD，∠ABC=∠DBC=，求:
(1)直線AD與平面BCD所成角的大小；
(2)異面直線AD與BC所成的角；
(3)二面角A—BD—C的大小.

Answer 1

(1) 45° (2) AD與BC所成的角為90°(3) 二面角A—BD—C大小為π－arctan2.

(1)如圖，在平面ABC內，過A作AH⊥BC，垂足為H，則AH⊥平面DBC，
∴∠ADH即為直線AD與平面BCD所成的角 由題設知△AHB≌△AHD，則DH⊥BH，AH=DH，
∴∠ADH=45°

(2)∵BC⊥DH，且DH為AD在平面BCD上的射影，
∴BC⊥AD，故AD與BC所成的角為90°。
(3)過H作HR⊥BD，垂足為R，連結AR，則由三垂線定理知，AR⊥BD，故∠ARH為二面角A—BD—C的平面角的補角 設BC=a,則由題設知，AH=DH=,在△HDB中，HR=a，∴tanARH==2
故二面角A—BD—C大小為π－arctan2.
另法（向量法）: (略)