Question

（2006•黃浦區二模）設a為正數，直角坐標平面內的點集A={（x，y）|x，y，a-x-y是三角形的三邊長}．
（1）畫出A所表示的平面區域；
（2）在平面直角坐標系中，規定a∈Z，且y∈Z時，（x，y）稱為格點，當a=8時，A內有幾個格點（本小題只要直接寫出結果即可）；
（3）點集A連同它的邊界構成的區域記為

.

A

，若圓{(x，y)|(x-p)2+(x-q)2=r2}⊆

.

A

(r＞0)，求r的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據三角形的三邊滿足的條件2x+2y＞a； a＞2y；a＞2x，畫出A所表示的平面區域；
（2）當a=8時，結合圖形列出A內的格點，得到格點個數，
（3）結合圖象，當圓與三角形相切時半徑最大，根據等面積法求出r的最大值．

解答：解：（1）集合A表示一個點集（平面上一組點），這些點的橫縱坐標滿足：2x+2y＞a； a＞2y；a＞2x
其中a是正數．
表示一個由直線2x+2y=a 和x=

a

2

和y=

a

2

圍成的三角形區域．

（2）當a=8時，A內的格點有（2，3），（3，2），（3，3）共3個格點．
（3）結合圖象，當圓與三角形相切時半徑最大，根據等面積法得到

a

2

r+

a

2

r+

2

2

ar=

a

2

×

a

2

解得r=

2- 2

4

a

點評：本題考查畫不等式組表示的平面區域是解決線性規劃問題的關鍵，當圓與三角形相切時三角形內的圓半徑最大，屬于中檔題．