Question

定理：若函數f（x）的圖象在區間[a，b]上連續，且在（a，b）內可導，則至少存在一點ξ∈（a，b），使得f（b）-f（a）=f′（ξ）（b-a）成立．應用上述定理證明：
（1）1-

x

y

＜lny-lnx＜

y

x

-1(0＜x＜y)；     
（2）設bn=

1

n

，T_n為數列{b_n}的前n項和，求證：T₂₀₁₁-1＜ln2011＜T₂₀₁₀
（3）設f（x）=xⁿ（n∈N^*）．若對任意的實數x，y，f(x)-f(y)=f′(

x+y

2

)(x-y)恒成立，求n所有可能的值．

Answer 1

分析：（1）令f（x）=lnx，則lny-lnx=

y-x

ξ

，又

y-x

y

＜

y-x

ξ

＜

y-x

x

，即可證得不等式；
（2）在

1

n+1

＜ln

n+1

n

＜

1

n

中令n=1，2，3，…，2007，并將各式相加，即可得到結論；
（3）當n=1和2時，f(x)-f(y)=f′(

x+y

2

)(x-y)成立，當n≥3時，不妨設x=2，y=0，則已知條件化為：2^n-1=n，當n≥3時，2^n-1=（1+1）^n-1=C_n-1⁰+C_n-1¹+…+C_n-1^n-1≥2+C_n-1¹=n+1＞n，因此n≥3時方程2^n-1=n無解，則 當n≥3時，等式f(x)-f(y)=f′(

x+y

2

)(x-y)不恒成立，從而求出n的可能值．

解答：證明：（1）令f（x）=lnx，f′(ξ)=

1

ξ

，x＜ξ＜y…（1分）
（注1：只要構造出函數f（x）=lnx即給1分）
故lny-lnx=

y-x

ξ

，又

y-x

y

＜

y-x

ξ

＜

y-x

x

…（*）…（2分）
即1-

x

y

＜lny-lnx＜

y

x

-1(0＜x＜y)…（3分）
（2）由條件可知bn=

1

n

則Tn=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

在

1

n+1

＜ln

n+1

n

＜

1

n

中令n=1，2，3，…，2007，并將各式相加得

1

2

+

1

3

+…+

1

2011

＜ln

2

1

+ln

3

2

+…+ln

2011

2010

＜1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2010

即T₂₀₁₁-1＜ln2008＜T₂₀₁₀
（3）解：當n=1時，f(x)-f(y)=f′(

x+y

2

)(x-y)顯然成立．…（9分）
當n=2時，f(x)-f(y)=x2-y2=2(

x+y

2

)(x-y)=f′(

x+y

2

)(x-y)．…（10分）
下證當n≥3時，等式f(x)-f(y)=f′(

x+y

2

)(x-y)不恒成立．
不妨設x=2，y=0，則已知條件化為：2^n-1=n…（11分）
當n≥3時，2^n-1=（1+1）^n-1=C_n-1⁰+C_n-1¹+…+C_n-1^n-1≥2+C_n-1¹=n+1＞n…（13分）
因此n≥3時方程2^n-1=n無解．故n的所有可能值為1和2

點評：本題主要主要考查了數列與函數的綜合應用，同時考查了二項式定理和不等式的證明，屬于中檔題．