Question

數軸上有一列點

P

1

，

P

2

，

P

3

，…，

P

n

，…，已知當n≥2時，點

P

n

是把線段

P

n-1

P

n+1

作n等分的分點中最靠近

P

n+1

的點，設線段

P

1

P

2

，

P

2

P

3

，…，

P

n

P

n+1

的長度分別為

a

1

，

a

2

，

a

3

，…，

a

n

，其中

a

1

=1．
（Ⅰ）寫出

a

2

，

a

3

和

a

n

(n≥2，n∈N*)的表達式；
（Ⅱ）證明

a

1

+

a

2

+

a

3

+…+

a

n

＜3(n∈N*)；
（Ⅲ）設點

M

n

(n，

a

n

)(n＞2，n∈N*)，在這些點中是否存在兩個點同時在函數y=

k

(x-1)2

(k＞0)的圖象上，如果存在，請求出點的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依題意當n≥2時，P_n-1P_n=（n-1）P_nP_n+1，結合已知可得a_n與a_n-1的遞推公式，結合

a

1

=1，代入即可求解
（Ⅱ）由（I）可知，

1

(n-1)!

=

1

(n-1)•(n-2)•…3•2•1

≤

1

2•2…2

=

1

2n-2

，利用放縮法，結合等比數列的求和公式可證
（Ⅲ）先假設存在兩個點A(p，

a

p

)，B(q，

a

q

)都在函數y=

k

(x-1)2

(k＞0)的圖象上，把點的 坐標代入可得k=

a

p

(p-1)2=

a

q

(q-1)2，然后進行推理，即可判斷

解答：解：（Ⅰ）依題意當n≥2時，有

P

n-1

P

n

=(n-1)

P

n

P

n+1

，即

a

n

=

a   n-1

n-1

，
∵

a

1

=1，
∴

a

2

=1，

a

3

=

a   1

2

=

1

2

，

a

n

=

1

n-1

a

n-1

=

1

n-1

•

1

n-2

a

n-2

=…=

1

(n-1)

•

1

(n-2)

…

1

2

-1=

1

(n-1)!

(n≥2)，
故

a

n

=

1

(n-1)!

(n≥2)．
（Ⅱ）證明：因為當n≥2時，

1

(n-1)!

=

1

(n-1)•(n-2)•…3•2•1

≤

1

2•2…2

=

1

2n-2

，
∴

a

1

+

a

2

+

a

3

+…+

a

n

=1+

1

1i

+

1

2!

+…+

1

(n-1)i

≤1+1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-2

=1+

1-( 1 2 )n-1

1- 1 2

=3-(

1

2

)n-2＜3
故

a

1

+

a

2

+…+

a

n

＜3(n≥2)，
而

a

1

=1＜3顯然成立，
故

a

1

+

a

2

+

a

3

+…+

a

n

＜3(n∈N*)；
（Ⅲ）證明：假設存在兩個點A(p，

a

p

)，B(q，

a

q

)（其中p≠q，p，q∈N^*，p＞2，q＞2）都在函數y=

k

(x-1)2

(k＞0)的圖象上，
∴k=

a

p

(p-1)2=

a

q

(q-1)2，
即

(p-1)2

(p-1)!

=

(q-1)2

(q-1)!

，設

b

n

=

n2

n!

(n＞2)，

b

n

-

b

n-1

=

n2

n!

-

(n-1)2

(n-1)!

=

n-(n-1)2

(n-1)!

=-

n2-3n+1

(n-1)

＜0，
∴

b

2

＞

b

3

＞

b

4

＞…＞

b

n

＞…，
∴

(p-1)2

(p-1)!

=

(q-1)2

(q-1)!

不成立，故不存在滿足題設條件的兩個點．

點評：本題綜合考查了數列的遞推公式的應用，不等式的放縮法在證明不等式中的應用，等比數列 的求和公式的應用及存在性問題的求解