Question

在平面直角坐標系xoy中，已知橢圓C：=1（a>b≥1）的離心率e=，且橢圓C上的點到點Q （0,3）的距離最大值為4，過點M（3，0）的直線交橢圓C于點A、B．
（1）求橢圓C的方程。
（2）設P為橢圓上一點，且滿足（O為坐標原點），當|AB|<時，求實數t的取值范圍．

Answer 1

(1) ;(2) 或

解析試題分析：(1)此問主要考察橢圓與雙曲線的性質，橢圓的離心率與雙曲線的性質相等，則，利用直線與圓相切得到圓心到直線的距離等于半徑，解出,然后利用,解出,得到方程;
(2)典型的直線與圓錐曲線相交問題，首先方程聯立,寫出根與系數的關系，代入向量相等的坐標表示，得出點坐標，利用點在橢圓上，代入方程，然后利用,利用弦長公式，得到的范圍，與之前得到的與的關系式，求出的范圍.
試題解析：（1）∵ ∴        1分
則橢圓方程為即?設則
，當時，
有最大值為? 解得?∴，橢圓方程是    5分
（2）設?方程為?
由?整理得． 
由，解得．
，        7分
∴  則,
， 由點P在橢圓上，代入橢圓方程得
①         9分
又由，即，
將，，代入得則, 
，  ∴②      11分，
由①，得.聯立②，解得
∴或        13分
考點：1.圓錐曲線的性質；2.直線與圓錐曲線相交問題