Question

證明：
（1）已知x，y都是正實數，求證：x³+y³≥x²y+xy²，
（2）已知a，b，c∈R⁺，且a+b+c=1，求證：．

Answer 1

【答案】分析：（1）用比較法證明不等式，（x³+y³ ）-（x²y+xy²）=（x+y）（x-y）²，分析符號可得結論．
（2）由題意得，1=（a+b+c）²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac≤3（a²+b²+c²），結論得證．
解答：證明：（1）∵（x³+y³ ）-（x²y+xy²）=x² （x-y）+y²（y-x）=（x-y）（x²-y² ）
=（x+y）（x-y）²．
∵x，y都是正實數，∴（x-y）²≥0，（x+y）＞0，∴（x+y）（x-y）²≥0，
∴x³+y³≥x²y+xy²．
（2）∵a，b，c∈R⁺，且a+b+c=1，∴1=（a+b+c）²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac
≤3（a²+b²+c²），∴a²+b²+c²≥，當且僅當a=b=c 時，等號成立．
點評：本題考查用比較法證明不等式，基本不等式的應用，將式子變形是證明的關鍵．