Question

設平面向量

a

=（

3

，-1），

b

=（

1

2

，

3

2

）．若存在實數m（m≠0）和角θ(θ∈(-

π

2

，

π

2

))，使向量

c

=

a

+（tan²θ-3）

b

，

d

=-m

a

+

b

tanθ，且

c

⊥

d

．
（I）求函數m=f（θ）的關系式；  
（II）令t=tanθ，求函數m=g（t）的極值．

Answer 1

（I）∵向量

a

=（

3

，-1），

b

=（

1

2

，

3

2

），
∴向量

c

=（

3

+

1

2

（tan²θ-3），-1+

3

2

（tan²θ-3））=（

1

2

tan²θ+

3

-

3

2

，

3

2

tan²θ-1-

3

2

3

）
向量

d

=（-

3

m+

1

2

tanθ，m+

3

2

tanθ）
∵且

c

⊥

d

，
∴

c

•

d

=0，即（

1

2

tan²θ+

3

-

3

2

）（-

3

m+

1

2

tanθ）+（

3

2

tan²θ-1-

3

2

3

）（m+

3

2

tanθ）=0
化簡整理，得m=

1

4

(tan3θ-3tanθ)(-

π

2

＜θ＜

π

2

)，即為函數m=f（θ）的關系式．
（II）設tanθ=t，得m=g(t)=

1

4

(t3-3t)，t∈R
求導得m′=g′(t)=

3

4

(t2-1)，令g'（t）=0，得t₁=-1，t₂=1
當t∈（-∞，-1），g'（t）＞0，g（t）為增函數；當t∈（-1，1）時，g'（t）＜0，g（t）為減函數；
當t∈（1，+∞）時，g'（t）＞0，g（t）為增函數．
所以當t=-1，即θ=-

π

4

時，m=g（t）有極大值

1

2

；當t=1，即θ=

π

4

時，m=g（t）有極小值-

1

2

．