Question

已知數列滿足，（且）．
（Ⅰ）求數列的通項公式；
（Ⅱ）令，記數列的前項和為，若恒為一個與無關的常數，試求常數和.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ），．

試題分析：（Ⅰ）求數列的通項公式，這是已知型求，可仿來求，由，可⇒，二式作差可得，即，再求得即可判斷數列是首項為1，公比為2的等比數列，從而可求數列的通項公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，求得，由等差數列的概念可判斷是以為首項，以為公差的等差數列，由對任意正整數恒成立，即恒為一個與n無關的常數λ可得到關于λ的方程組，解之即可．
試題解析：（Ⅰ）由題 ①
 ②
由①②得：，即                3分
當時，，，,
所以，數列是首項為，公比為的等比數列
故（）                           6分
（Ⅱ），
，
是以為首項，以為公差的等差數列，       8分

                  10分
恒為一個與無關的常數，
解之得：， ．                        12分