Question

（2013•汕頭二模）已知函數f（x）是定義在實數集R上的奇函數，當x＞0時，f（x）=ax+lnx，其中常數a∈R．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）若函數f（x）在區間（-∞，-1）上是單調減函數，求a的取值范圍；
（3）f′（x）函數f（x）的導函數，問是否存在實數x₀∈（1，e），使得對任意實數a，都有f′(x0)=

f(e)-f(1)

e-1

成立？若存在，請求出x₀的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）先設x∈（-∞，0）則-x∈（0，+∞），再求出f（-x）利用函數是奇函數求出f（x），最后用分段函數表示出函數的解析式；
（2）根據函數f（x）是奇函數，若函數f（x）在區間（-∞，-1）上單調減，當且僅當f（x）在區間（1，+∞）上單調減，求導，轉化為導數小于等于零恒成立，利用分離參數，即可得a的取值范圍；
（3）求出

f(e)-f(1)

e-1

，和f′（x₀），解方程即可求得x₀的值，從而證明結論．

解答：解：（1）f（0）=0…（1分），x＜0時，
f（x）=-f（-x）=ax-ln（-x），
所以f(x)=

ax+lnx，x＞0 0，x=0 ax-ln(-x)，x＜0

（2）函數f（x）是奇函數，則f（x）在區間（-∞，-1）上單調減少，
當且僅當f（x）在區間（1，+∞）上單調減少，
當x＞0時，f（x）=ax+lnx，f/(x)=a+

1

x

，
由f/(x)=a+

1

x

＜0得a＜-

1

x

，-

1

x

在區間（1，+∞）的取值范圍為（-1，0），
所以a的取值范圍為（-∞，-1]
（3）存在．

f(e)-f(1)

e-1

=

(ae+1)-a

e-1

=a+

1

e-1

…，
解f/(x0)=a+

1

x0

=a+

1

e-1

，得x₀=e-1，
因為1＜e-1＜e，
所以x₀=e-1為所求．

點評：此題是個難題．本題主要考查導數的概念、利用導數研究函數的單調性、利用函數的單調性證明不等式和利用導數研究函數性質的能力，考查分類討論思想、數形結合思想和等價變換思想．